从突发到达到随机接入：无线网络的随机过程建模

无线接入中有两类随机性需要同时考虑：分组到达的时间不规则，多个终端同时发送时又可能发生冲突。建模时应先把二者分开。到达模型回答任务何时进入系统，接入模型回答哪些发送尝试能够成功。如果过早把它们揉成一个过程，很可能得到形式漂亮、对象却不正确的公式。

从齐次泊松模型开始

令 $N(t)$ 表示时刻 $t$ 前的累计到达数。速率为 $\lambda$ 的齐次泊松过程具有平稳独立增量，因此长度为 $T$ 的区间内，到达数满足

\Pr\{N(t+T)-N(t)=n\}=e^{-\lambda T}\frac{(\lambda T)^n}{n!},\qquad n=0,1,\ldots

这个增量的均值和方差都是 $\lambda T$ 。泊松过程结构简单、便于叠加，在流量经过充分聚合后常常是不错的起点；但它绝不是网络流量的普遍规律。会话之间的关联、同步应用、重传以及休眠—唤醒周期，都可能使方差大于均值，并让不同时间区间的计数彼此相关。

是否采用泊松模型，应先让数据说话：在多个聚合窗口下比较样本均值和方差，查看计数序列的自相关，并检查估计到达率是否随时间保持稳定。某一个时间尺度上拟合良好，并不能证明整个到达过程就是泊松过程。

马尔可夫调制泊松过程（MMPP）让瞬时到达率由一个隐状态连续时间马尔可夫链 $J(t)$ 决定。对于包含 $m$ 个状态的模型，生成矩阵和各状态对应的到达率写作

Q=[q_{ij}],\qquad q_{ii}=-\sum_{j\ne i}q_{ij},\qquad \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_m).

当 $J(t)=i$ 时，到达速率为 $\lambda_i$ 。若该链不可约，其稳态分布满足

\boldsymbol{\pi}Q=\boldsymbol{0},\qquad \boldsymbol{\pi}\boldsymbol{1}=1,

长期平均到达率为

\bar{\lambda}=\boldsymbol{\pi}\boldsymbol{\lambda}.

MMPP 的作用不只是让均值随时间变化。低速率和高速率状态之间若切换较慢，就会产生带相关性的过度离散计数，同时仍保留马尔可夫模型便于分析的特点。很多场景用两个状态就足以描述空闲期和繁忙期；是否继续增加状态，应看样本外预测是否真正改善，而不能只追求训练集上的拟合度。

实现时尤其要分清下面两种常被混用的模型：

后者可以近似前者，但并不天然就是连续时间 MMPP 的正确仿真器。必须明确离散化间隔，并说明 $P$ 与 $Q$ 之间的关系。求稳态概率时还应显式加入归一化条件，不能随意取一个符号和尺度都未固定的零空间向量。

把一个分组的发送时长作为时间单位，令 $G$ 表示每个分组时长内平均发生的发送尝试次数，其中也包括重传。在经典的无限用户泊松模型下，纯 ALOHA 中某个分组要成功，长度为两个分组时长的易受干扰区间内就不能有其他发送开始，因此

P_{\mathrm{s}}=e^{-2G},\qquad S=G e^{-2G}.

对吞吐量求导可得熟知的最大值

G^{\star}=\frac{1}{2},\qquad S_{\max}=\frac{1}{2e}\approx 0.184.

时隙 ALOHA 将发送约束在时隙边界，使易受干扰区间缩短为一个时隙：

P_{\mathrm{s}}=e^{-G},\qquad S=G e^{-G},\qquad G^{\star}=1,\qquad S_{\max}=\frac{1}{e}\approx 0.368.

这些公式给出的是理论基准，不是部署性能保证。它们假设分组等长、发送尝试服从独立泊松过程、接收端采用碰撞信道模型，并忽略捕获效应、隐藏终端、信道误码和多包接收。如果传播时延相对分组时长已经不可忽略，易受干扰区间本身也会改变。

新分组的到达率和总发送尝试率不是一回事。发送失败的分组会进入积压队列，并在之后再次尝试；重传过于激进会推高 $G$ ，带来更多冲突，反过来又扩大积压。在有限用户模型中，可以用马尔可夫链描述积压分组数，其转移概率同时由新分组产生过程、重传策略和接收端成功模型决定。

不存在“重传概率至少要等于新分组概率”这样的通用稳定性规则。这里的稳定，是指在给定流量与服务机制下，耦合后的积压过程具有正常返性（positive recurrence）。应通过漂移条件、稳态马尔可夫链分析，或其他适合该模型的判据来验证。

若 $B$ 为稳态平均积压分组数， $S$ 为稳态接纳吞吐量，Little 定律可以给出

\bar{D}=\frac{B}{S},

但前提是系统稳定、所需平均量确实存在，而且统计对象与时延口径彼此一致。一个本来就不稳定的仿真，不能靠套用这条公式得到有意义的平均时延。

具有捕获能力、串行干扰消除或多天线处理的接收机，可能在一个时隙内解码多个分组。可以用条件成功模型 $p_s(k\mid n)$ 表示：当同一时隙有 $n$ 次发送尝试时，最终解码出 $k$ 个分组的概率是多少。于是该时隙的期望成功数为

\mathbb{E}[K\mid n]=\sum_{k=0}^{n} k\,p_s(k\mid n).

这种建模比直接声称“不同波束上的分组互不干扰”更准确。接收端仍需考虑阵列自由度、信干噪比、信道估计误差、功率不平衡和实现损耗。

建模的目标不是把随机过程做得越复杂越好，而是用尽可能简单的模型，保留支撑工程结论的关键机制。